Szimuláció és optimalizáció – Célzott numerikus matematikai alapkutatás komplex fizikai folyamatokra és termelési rendszerekre a Széchenyi István Egyetemen nemzetközi kutatói team kialakításával

TÁMOP-4.2.2-08/1-2008-0021

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszereinek elemzése

Az áramlási folyamatok szimulációi mögötti matematikai eljárások leggyakrabban parciális differenciálegyenletekre (PDE-kre) vonatkozó numerikus módszerek. A szimulációk eredményeinek a valódi, fizikai világ mennyiségeinek tulajdonságait kell visszatükrözniük, így például a koncentrációknak, sűrűségeknek, nyomásnak egy áramlási folyamat szimulációja esetében nem-negatívnak kell lennie, így az alatta fekvő parciális differenciálegyenletek numerikus módszereinek szintén nem-negatív eredményeket kell szolgáltatniuk ezekre a változókra. Ez azonban a numerikus módszer paramétereire és az adatokra, pl. a térbeli felbontás tulajdonságaira és az időlépés nagyságára vonatkozóan nem triviális összefüggések teljesülését követeli meg. Ezen összefüggések megkeresése, a módszer pozitivitási elemzése a szaúd-arábiai KAUST, a hazai SZE-Győr, a CWI Amsterdam és a  UMass Dartmouth egyetemek, kutatóintézetek projektjének ugyancsak kutatási feladata. A két projekt eseményeinek és tevékenységének összehangolása fontos húzóerőt jelentett mindkét kutatási program számára.

A projektben egy eddig elméletileg még nem vizsgált, de a gyakorlati alkalmazásokban nagyon elterjedt módszercsaládra, a Rosenbrock-módszerekre kidolgoztunk egy új vizsgálati módszertant és elvégeztük a módszerek pozitivitási elemzését. További jelentős eredmény, hogy továbbfejlesztettük a nem-önadjungált, teljes sajátbázissal rendelkező lineáris rendszerekre – amilyenek tipikusan az áramlási folyamatoknál is előfordulnak – azt az elméletet, amely megmondja, hogy a szimuláció mekkora időlépés esetén őrzi még meg a változók fizikai jelentését. Ehhez pozitívan invariáns, attraktív részhalmazokat konstruáltunk a megfelelő dinamikai rendszerhez, amelyek vizsgálatának eredményei megmagyarázzák azt a korábban is ismert számítógépes tapasztalatot, miszerint bizonyos „sima” kezdeti adatokra miért viselkedik jobban a szimuláció.

Eredményeink illusztrálására bemutatjuk, hogy speciális kúpok konstrukciójával hogyan lehet az elméletileg ismert, pozitivitást garantáló lépésköz hosszát , ami igencsak kívánatos a fizikai szimulációk futtatásánál. Az alábbi ábrán, szemilogaritmikus skálán látszik, hogy a legjobb, azaz a lépésközök nagyságát a feladat méretének függvényében ábrázoló legfentebb haladó 3 grafikon mindegyike a speciális kúpra készült és a nagyságrend O(1/N) ill. O(1), azaz konstans a Crank-Nicolson, Padé(2,2), Padé(1,2) esetén, nagyságrendet javítva a klasszikus eredményeken; nem is beszélve az ábrán fel sem tüntethető Padé(0,2) módszerről, amelyre a speciális kúpon a pozitivitást garantáló lépésköz végtelen, míg a klasszikus pozitív ortánson 0.